場合の数は中学受験の算数において、得点力を伸ばす重要な単元の一つです。
しかし、「条件が複雑」「考え方が難しい」と感じる受験生も少なくありません。
そこで、このブログでは、場合の数を効率よく総仕上げするための具体的な方法を解説します。
過去問演習の活用法や直前期の復習ポイント、試験当日に役立つテクニックを知ることで、得意分野に変えていきましょう。
親子で一緒に学び、合格に近づく力を育ててください！
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目次
場合の数とは？基礎からわかる重要ポイント
場合の数は、中学受験の算数で頻出する重要な単元です。
この分野では、ある条件のもとで可能な選択肢の総数を正確に計算する力が求められます。
基本的な考え方を身につけることで、他の分野にも応用できる論理的思考が養われます。
さらに、場合の数は受験算数における「得点源」となる単元です。
計算ミスを防ぎながら、正確かつ効率的に解答を導く力を身につけることが合格の鍵になります。
場合の数は、出題パターンがある程度決まっているため、基本の考え方を理解し、繰り返し練習することで安定して正解を導き出せる単元です。
たとえば、順列や組み合わせ、樹形図を使った問題では、明確な手順を覚えれば複雑な問題でもスムーズに解けます。
また、この単元はほかの分野とリンクすることが多く、割合や図形問題の応用として出題されることもあります。
場合の数が得意になれば、幅広い問題に対応できる応用力が身につきます。
その結果、全体の得点力が大幅に向上します。
さらに、正確に答えを出すための計画的な思考力が自然と鍛えられます。
この力は受験勉強だけでなく、試験当日の時間管理や冷静な判断力にも役立ちます。
場合の数は「解ける」ことで自信にもつながるため、早めに得意分野にしておくことが大切です。
場合の数―並べ方
場合の数の中でも「並べ方」は、順序を考えてものを並べる際の方法を求める問題です。
この分野では、基本的なルールをしっかり押さえることで、計算を効率よく進められます。
ここでは、「和の法則」「積の法則」といった基礎ルールから、具体的な並べ方の問題や、少し応用的なぬり分け問題について詳しく解説します。
和の法則
和の法則は、どちらか一方の選び方がある場合に使います。
たとえば、「赤いボールを取る」または「青いボールを取る」ような状況です。
和の法則とは：
Aの起りかたがm通り、Bの起りかたがn通りある時、AとBのどちらかが起こる場合の数は、m+n通りである。
例題：赤いボール3個と青いボール2個から1個選ぶ場合
- 赤いボールを選ぶ方法
赤いボールは3個なので、選び方は3通りです。 - 青いボールを選ぶ方法
青いボールは2個なので、選び方は2通りです。 - 合計の選び方
赤いボールか青いボールのどちらかを選ぶので、選び方は：3+2=5
答え：5通り
和の法則を使うと、「どちらか一方を選ぶ場合」の場合の数を簡単に求められます。
積の法則
積の法則とは：
Aの起りかたがm通りあり、そのそれぞれについて、Bの起りかたがn通りずつある時、AとBが両方起こる場合の数は、m×n通りである。
例題：赤いボール2個と青いボール3個を、それぞれ1個ずつ選ぶ場合
- 赤いボールの選び方
赤いボールは2個なので、選び方は2通りです。 - 青いボールの選び方
青いボールは3個なので、選び方は3通りです。 - 合計の選び方
赤いボールを選んだ後に青いボールを選ぶので、選び方は：2×3=6
答え：6通り
積の法則は、「2つ以上のステップが連続している場合」に使います。
並べ方
並べ方では、ものを順序を考えて並べる方法を考えます。
この分野で基本となるのは順列です。
例題：3人を並べる場合（Aさん、Bさん、Cさん）
- 1人目を選ぶ
3人から1人を選べます（3通り）。 - 2人目を選ぶ
残り2人から1人を選べます（2通り）。 - 3人目を選ぶ
最後の1人を選びます（1通り）。
並べ方は：3×2×1=6通り
答え：6通り
同じものがある場合の並べ方
例題：赤いボール2個と青いボール1個を並べる場合（重複を除外する必要があります。）
- 全部違う場合の並べ方は：
3×2×1=6通り - 同じもの（赤いボール）の並べ替えを除外：
6÷2=3通り
答え：3通り
ぬり分けの問題
ぬり分け問題は、隣り合う色が同じにならないように塗る場合の数を考える問題です。
例題：3つのマスを赤、青、緑の3色で塗り分ける場合
- 1つ目のマス（ア）を塗る
どの色でもよいので、3通り。 - 2つ目のマス（イ）を塗る
1つ目と違う色にする必要があるので、2通り。 - 3つ目のマス（ウ）を塗る
2つ目と違う色にする必要があるので、再び2通り。
計算すると：3×2×2=12通り
答え：12通り
前の問題をもとに、使わない色があってもよいこととしますと変更します。
一緒に考えてみましょう！
「となり合うところは違う色でぬる」から3色でぬる場合と2色でぬる場合を考えることになります。
- 3色でぬる場合：
アの色の選び方が3通り、イが2通り、ウが1通りあるから 3×2×1＝6通り - 2色でぬる場合：
アとイを何色でぬるかだけ考えればよい（ウはアと同じ色に自動的に決まる）から 3×2＝6通り
答え： 6+6＝12通り
このように「和の法則」「積の法則」を理解し、基本の「並べ方」や「ぬり分け問題」に取り組むことで、場合の数の基礎がしっかり身につきます。
特に、条件付きの場合には注意深く計算を進めることが重要です。
家庭でぜひ一緒に練習してみてください！
場合の数を簡単に理解するための基本用語解説
場合の数を学ぶうえで、まず押さえておきたい基本用語がいくつかあります。
ここでは、よく使われる次の言葉
- 順列
- 組み合わせ
- 樹形図
とその意味をわかりやすく説明します。
順列
「順列」とは、順番を考えて並べることです。
たとえば、3人の友達（Aさん、Bさん、Cさん）が並ぶとき、並び方は順番が違えば別の並べ方として数えます。
A→B→C と B→A→C は違う並び方になります。
このように、「誰がどの順番に並ぶか」を考える場合に使うのが順列です。
公式として「n個のものをr個並べる場合は、nPr = n! / (n-r)!」が使われます。
公式の意味をわかりやすく説明
公式は次のように書きます：
n個のものをr個並べる場合は、nPr = n! / (n-r)!」が使われます
- n は「並べる元の数」です。
- r は「並べたい数」です。
この公式を使うと、順序を考えた並べ方の数をすばやく求めることができます。
階乗とは、1からその数までの数字をすべて掛け合わせた結果のことを指します。
記号として「!」を使います。たとえば、次のように計算します：
3!=3×2×1=6
4!=4×3×2×1=24
5!=5×4×3×2×1=120
つまり、「〇〇!」と書かれたら、その数字から1まで順番に掛け算していくのが階乗です。
0!=1
「0!」は、0からその数字までの積ではなく、特別なルールとして 1 と定義されています。
具体例で考えてみよう
例1: 3人をすべて並べる場合（n = 3, r = 3）
Aさん、Bさん、Cさんの3人を順番に並べる場合を考えます。
- 1人目を選ぶ
3人の中から1人を選べます（Aさん、Bさん、Cさんの3通り）。 - 2人目を選ぶ
残りの2人から1人を選べます（2通り）。 - 3人目を選ぶ
最後の1人を選べます（1通り）。
計算すると、
3×2×1=6
つまり、3人を並べる方法は 6通り です。
公式を使うと、
3P3=3! ／(3−3)!=3×2×1 ／０!=6 (０!は定義より１）
同じ答えになります。
例2: 5人の中から2人を並べる場合（n = 5, r = 2）
Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人から、2人を選んで順番に並べる方法を考えます。
- 1人目を選ぶ
5人の中から1人を選べます（5通り）。 - 2人目を選ぶ
残りの4人から1人を選べます（4通り）。
計算すると、
5×4=20
つまり、2人を並べる方法は 20通り です。
公式を使うと、
5P2=5!／(5−2)! =（5×4×3×2×1）／（3×2×1） =5×4=20
これも同じ答えになります。
階乗の簡単な例え
階乗は「並べ方」の数を求めるときによく使います。たとえば、3人（Aさん、Bさん、Cさん）を並べる方法を考えると：
- 1人目を選ぶ：3通り（A、B、Cの中から1人を選ぶ）。
- 2人目を選ぶ：残りの2人から1人を選ぶので2通り。
- 3人目を選ぶ：最後の1人は1通り。
これを掛け算すると：
3×2×1=6
これが階乗の考え方です。
順列と階乗の関係
順列を求める公式「 nPr=n! ／(n−r)! 」では、階乗を使って並べ方を計算します。
たとえば、4人から2人を並べる場合：
4P2=4!／(4−2)! =（4×3×2×1） ／（2×1）=4×3=12
階乗を使うと、順番を考える並べ方の計算が簡単にできます。
階乗のポイント
- 階乗は「順番をすべて掛ける」こと。
- n! は順列や場合の数を計算するときに便利！
お子さんには、実際に「1つずつ数字を掛けてみる」練習をさせるとイメージがつかみやすいです。
なぜ公式が便利なのか？
たとえば、10人から3人を並べる場合など、数が多くなると手計算が大変になります。
この公式を使えば、大きな数でも簡単に計算できます。
順列のポイント
- 順列は「並べる順番が重要」なときに使います。
- 公式を覚えたら、基本の例題で練習して、考え方を身につけましょう！
親御さんと一緒に、おもちゃやカードを使って並べ方を確認しながら学ぶと、より理解が深まります。
組み合わせ
組み合わせとは、順番を考えずに「いくつかを選ぶ」場合の数を求める方法です。
順列とは違って、選ぶ順番は関係ありません。
この公式を使うと、選び方の数を簡単に計算できます。
公式は次のように書きます：
n個のものをr個組み合わせる場合は、nCr = n! /(r! × (n-r)!)」が使われます
- n は「全体の数」
- r は「選びたい数」
この公式は、「全体からいくつかを選ぶ」選び方の数を計算します。
具体例で説明
例1: 5人から2人を選ぶ場合
友達A、B、C、D、Eの5人から、2人を選ぶ方法を考えます。順番は関係ありません。
- 公式にあてはめる
全体の人数：n=5
選びたい人数：r=2
公式にあてはめると：
5C2=5! ／2!(5−2)!=(5×4×3×2×1)／（2×1）×（3×2×1）
計算を簡単にする
（5×4×3×2×1） ／（2×1）×（3×2×1）=20/2=10
答え：10通り
つまり、5人の中から2人を選ぶ方法は 10通り です。
例2: 6枚のカードから3枚を選ぶ場合
カードが6枚（A、B、C、D、E、F）あります。この中から3枚を選ぶ方法を考えます。
- 公式にあてはめる
全体のカード：n=6
選びたい枚数：r=3
公式にあてはめると：
6C3=6! ／3!(6−3)!=（6×5×4×3×2×1）／(3×2×1)×(3×2×1)
計算を簡単にする
分母と分子の 3×2×1 を約分して：
6×5×4/3×2×1 =20
答え：20通り
つまり、6枚のカードから3枚を選ぶ方法は 20通り です。
組み合わせのポイント
順番を考えないことが特徴
たとえば、AさんとBさんを選ぶ場合、A→BとB→Aは同じとみなします。
公式を覚えると計算が早くなる
手計算では大変な大きな数も、この公式を使えばすぐに答えを求められます。
樹形図を使って確認する
小学生の場合、公式だけでなく、簡単な問題は実際に樹形図を描いて確認すると理解が深まります。
樹形図
すべての可能性を視覚的に表現するために使用する図です。
たとえば、サイコロの出目や洋服のコーディネートを考える際に便利です。
一つひとつ丁寧に書き出すことで、漏れなく数えることができます。
樹形図（じゅけいず）は、選び方や組み合わせを漏れなく数えるための図です。
木の枝が広がるような形で描くので「樹形図」と呼ばれます。
場合の数の問題を解くときに、どの選び方も忘れずに数えるためにとても便利です。
具体例で樹形図を描いてみよう
例１ Aさん、Bさん、Cさんの3人が並んで記念撮影をします。
3人の並び順は何通りあるでしょうか。
樹形図を描いていきます。
これでAが左端の時の並び順が2通りであることがわかります。
同様にBを左端にして書いてみましょう。
2通りですね。
例2: 赤・青・緑の3つのボールから2つを選ぶ場合
今度は、3つのボールから 2つを選ぶ 場合を考えます。
- 赤を最初に選ぶ
- 赤の次に青を選ぶ（赤→青）
- 赤の次に緑を選ぶ（赤→緑）
- 青を最初に選ぶ
- 青の次に赤を選ぶ（青→赤）
- 青の次に緑を選ぶ（青→緑）
- 緑を最初に選ぶ
- 緑の次に赤を選ぶ（緑→赤）
- 緑の次に青を選ぶ（緑→青）
これを樹形図に描くと下図のようになります。
結果、全部で 2×3=6通り あることがわかります。
樹形図を使うポイント
枝分かれを丁寧に描く
一つ一つの選び方を忘れずに描くことが大切です。
順番を守る
条件がある場合、たとえば「赤を最初に選ぶ」などのルールに従って描きます。
答えを数える
最後に枝の先端（終わり）を数えると、すべての選び方がわかります。
樹形図が役立つ理由
- 漏れがない
すべての選び方が見えるので、考え漏れが防げます。 - わかりやすい
視覚的に考えられるので、整理しやすいです。 - 練習に最適
場合の数を勉強する最初の段階で、特に便利な方法です。
親御さんと一緒に描くと楽しく学べます！
たくさん練習して場合の数を得意にしましょう。
条件付きの場合分け
「条件付きの場合分け」とは、問題に書かれている「〇〇が入らない」「〇〇を必ず含む」などの制約がある場合、それぞれの条件に分けて計算する方法です。
難しそうに見えるけど、順番に条件を整理すれば、簡単に解けるようになります！
この考え方は中学受験で特に頻繁に求められるため、慣れておくことが重要です。
具体例で考えてみよう
例1: 3人を並べるときに、Aさんが必ず1番目に来る場合
- 友達のAさん、Bさん、Cさんの3人を並べる問題を考えます。
「Aさんが必ず1番目に来る」という条件がある場合、どうなるでしょう？ - Aさんを1番目に固定する
Aさんを1番目にすると、残りはBさんとCさんを並べるだけになります。 - 残りの並べ方を考える
BさんとCさんを並べる方法は次の2通りです：- A → B → C
- A → C → B
- 答え：並べ方は 2通り。
例2: 4人から2人を選ぶとき、Bさんを必ず選ぶ場合
- 友達のAさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人から、2人を選ぶ問題を考えます。「Bさんを必ず選ぶ」という条件がある場合はどうなるでしょう？
- Bさんを選ぶのが決まっている
Bさんは必ず選ぶので、残りの1人をAさん、Cさん、Dさんから選びます。 - 選び方を考える
Bさんと一緒に選ぶ人を考えると：- BとA
- BとC
- BとD
- 答え：選び方は 3通り。
条件付きの場合分けのコツ
- 条件をしっかり読み取る
問題の中で「〇〇する」や「 条件を守りながら場合分けをして、順番に整理します。 - 樹形図を使う
条件を図に書いて整理すると、忘れることなく正確に考えられます。
条件付きの場合分けは、丁寧に条件を整理すれば難しくありません。
最初は簡単な問題から始めて、徐々に慣れていきましょう！
これらの用語を理解することで、問題の意味を的確に捉えられるようになります。
特に、公式を使った計算に苦手意識を持たないよう、簡単な問題から始めることがポイントです。
保護者の方も一緒に用語を学ぶことで、家庭学習のサポートがしやすくなるでしょう。
中学受験で頻出する「場合の数」の基本問題
中学受験において、「場合の数」は頻出かつ重要な単元です。
問題には様々なタイプがあり、それぞれに適した考え方やアプローチが求められます。
この章では、「場合の数」の基本問題をタイプ別に分け、それぞれの具体例を用いてわかりやすく解説します。
樹形図を使って書き出す問題
樹形図は、選択肢を視覚的に整理しながら、すべての可能性を漏れなく数えるための方法です。
具体例
「赤、青、緑の3つのボールから1つずつ順番に選ぶ場合、選び方は何通りあるか？」
解説
- 最初に1つ目のボールを選ぶ（3通り：赤、青、緑）。
- 次に2つ目のボールを選ぶ（残りの2通り）。
- 最後に3つ目のボールを選ぶ（残りの1通り）。
樹形図を描くことで、選び方が6通りであることが確認できます。
選び方を数える問題
選び方を数える問題では、順序を考えない「組み合わせ」を求める考え方が重要です。
具体例
「5つのボール（赤、青、緑、黄、黒）から2つを選ぶ場合、選び方は何通りあるか？」
解説
順序を考えないので、「5C2」の公式を使用します。
5C2=5! ／2!(5−2)!=（5×4×3×2×1）／(2×1)×(3×2×1)
計算を簡単にする
分母と分子の 3×2×1 を約分して：
5×4/2×1 =10
答え：10通り
計算すると10通りです。
選び方をリスト化すると、組み合わせの概念が具体的に理解できます。
もれなくすべて書き出す問題
この問題では、すべての可能性をリスト化して考えます。
具体例
「2枚のカード（赤、青）を使って、1枚または2枚選ぶ場合の選び方は？」
解説
1枚だけ選ぶ場合：赤、青の2通り。
2枚選ぶ場合：赤と青の1通り。
和の法則を使って、選び方は3通りです。
和の法則とは：
Aの起りかたがm通り、Bの起りかたがn通りある時、AとBのどちらかが起こる場合の数は、m+n通りである。
重複なく書き出す問題
同じものがある場合、その重複を計算から除外します。
具体例
「赤いボール2個と青いボール1個を並べる場合の並べ方は？」
解説
すべて違うと仮定すると
3!=6 通りですが、赤いボールの並べ替えが重複するため、
2! で割ります。計算結果は3通りです。
条件付きで場合分けをする問題
特定の条件を満たす場合の数を考える問題です。
具体例
「3人（Aさん、Bさん、Cさん）を並べるとき、Aさんが必ず左端に来る場合、並べ方は何通りあるか？」
解説
Aさんを左端に固定し、残りのBさんとCさんを並べる方法を考えます。
結果として並べ方は2通りになります。
色やパターンを塗り分ける問題
色を使った塗り分け問題では、条件を整理することが大切です。
具体例
「3つのマスを赤、青、緑の3色で塗り分ける場合、隣り合うマスの色が同じにならないようにする塗り方は何通りあるか？」
- 1つ目のマス（ア）を塗る
どの色でもよいので、3通り。 - 2つ目のマス（イ）を塗る
1つ目と違う色にする必要があるので、2通り。 - 3つ目のマス（ウ）を塗る
2つ目と違う色にする必要があるので、再び2通り。
計算すると：3×2×2=12通り
答え：12通り
並べ方と選び方が混在する問題
順列と組み合わせの両方が絡む問題です。
具体例
「4人から2人を選び、その2人を順番に並べる方法は？」
解説
まず4人から2人を選ぶ（4C2=6 通り）、その後、選んだ2人を並べる（2!=2 通り）。
合計で12通りになります。
これらの問題タイプごとに練習を重ねれば、中学受験の「場合の数」の基本問題に対応する力が自然と身につきます。
親子で一緒に楽しみながら取り組んでください！
実際の過去問を例にした解法の解説
過去問は場合の数を学ぶうえで最高の教材です。ここでは、代表的な問題を一つ取り上げて解法を説明します。
例題
「5人の生徒（A, B, C, D, E）が横一列に並びます。Aは必ず左端に並ぶものとします。このときの並べ方は何通りですか？」
解説
- 条件を整理する
Aが左端に来るため、並べ方はAを固定して残りの4人を並べる場合の数を考えます。 - 残りを計算する
残りの4人（B, C, D, E）の並べ方は「4! = 24通り」です。
答え
Aが左端に来る場合の並べ方は24通り。
このように過去問を使って具体的な解法を学ぶことで、受験本番でも自信を持って解答できます。親御さんも一緒に問題を解いてみると、サポートがしやすくなります。
効率よく学ぶ場合の数の勉強法
場合の数は中学受験の算数で重要な単元です。
この分野を得意にするには、基本の考え方をしっかり身につけ、徐々に応用問題へとステップアップする学習が効果的です。
また、ミスを減らし、確実に点数につなげるためには正しい見直しの習慣も重要です。
この章では、場合の数を効率よく学ぶための具体的な方法を紹介します。
場合の数の基礎を身につけるトレーニング方法
場合の数の基礎を固めるためには、次のような段階的なトレーニングが有効です。
- 基本的な用語を理解する
順列、組み合わせ、樹形図など、場合の数で使用される基本用語を正確に覚えます。
たとえば、「順列」は順序を考える並べ方、「組み合わせ」は順序を考えない選び方といった区別を具体例を交えて学びます。 - 簡単な例題から始める
最初は「3人を並べる方法」や「5つのボールから2つを選ぶ場合」といったシンプルな問題に取り組むことが大切です。
樹形図を描いてみることで、視覚的に理解を深めることができます。 - 日々の練習で計算力を強化する
計算ミスを防ぐために、公式を活用した計算練習を繰り返します。
たとえば、「6人の中から3人を選ぶ」問題では、公式を何度も使うことで計算手順を習得します。
応用問題への取り組み方とアプローチの工夫
応用問題に挑む際は、解き方のコツを押さえて取り組むと効果的です。
- 問題の条件を正確に読み取る
場合の数の応用問題では、「必ずAを含む」「AとBは隣り合う」などの条件が設定されていることが多いです。
この条件をもとに場合分けを行う練習を積むと、複雑な問題にも対応できます。 - 過去問や類題を活用する
中学受験では、過去問が非常に有効です。
同じ学校の過去問を繰り返し解くことで、出題傾向やよく使われる解法パターンを身につけることができます。 - 自分の解答を整理して振り返る
途中式や考え方をノートに書き出す習慣をつけると、ミスを発見しやすくなります。
また、似た問題が出たときにスムーズに解き方を思い出せます。
ミスを減らす見直しのポイント
場合の数の問題では、計算ミスや考え方の漏れを防ぐために見直しが不可欠です。
以下のポイントを意識して見直しを行いましょう。
ミスを減らす見直しのポイント
- すべての選択肢を確認する
特に樹形図やリストを使った問題では、すべての可能性をきちんと数えているか確認します。たとえば、問題に「ボールを2つ選ぶ」とあった場合、選択肢が漏れていないかチェックします。 - 条件を再確認する
問題文に記載された条件をもう一度読み返します。たとえば、「特定のものを含まない場合」「隣り合わない場合」など、条件を見落とすと大きなミスにつながります。 - 計算結果を再計算する
公式を使った計算問題では、計算ミスを防ぐために答えを再度計算します。特に、分母や分子を間違えやすい組み合わせの公式では注意が必要です。
基礎から応用まで段階を追って学び、正しい見直しを行う習慣をつけることで、場合の数を得意分野に変えることができます。
保護者の方も一緒にチェックリストを活用しながらサポートすると、お子さんの学習効果がさらに高まります。
保護者ができる場合の数の学習サポート
中学受験で場合の数を得意分野にするためには、家庭での学習サポートが欠かせません。
保護者が積極的に関わることで、子どもの理解度が深まり、学習に対するモチベーションも高まります。
ここでは、具体的なサポート例や環境づくりのポイント、モチベーションを維持するための工夫を紹介します。
家庭で取り組む学習サポートの具体例
中学受験の算数、とくに「場合の数」は、パターンを整理する力や論理的思考が求められる分野です。
家庭学習で保護者がどのようにサポートすればよいか、注意すべきポイントをまとめました。
1. 解法のプロセスを重視し、焦らず理解させる
場合の数は「考え方の流れ」が大切です。
解答を急がせず、「どのように考えたのか？」を確認しながら進めると、論理的思考が身につきます。
注意点
- 「答えが違うから間違い！」ではなく、「どう考えたのか教えて？」と問いかける。
- 「この公式を覚えればいいよ！」ではなく、「どういう考え方をするとこの式が成り立つのか？」を一緒に考える。
例：「5人の中から2人を選ぶ場合の数」
子ども：「AとB、AとC…BとC、BとD…と書き出していく」
親：「なるほど！ それって、順番を考えなくてもいいのかな？」
こうしたやりとりを通じて、「順列と組み合わせの違い」 を自分で気づけるように導くとよいです。
2. 図や具体物を使ってイメージしやすくする
場合の数の問題は、紙の上だけで考えるとイメージしにくいことがあります。
実際に手を動かして具体的に考えると、理解しやすくなります。
効果的な方法
- 樹形図を一緒に描いてみる（手を動かして整理する習慣をつける）
- カードやおはじき、折り紙などを使う（実際に並べたり、選んだりしてみる）
- 家庭の身近なものを例にする（「今日のデザートを2種類選ぶなら何通り？」など）
例：「3種類のアイスの中から2つを選ぶ方法」
保護者：「チョコ・バニラ・ストロベリーがあるね。
2つを選ぶとしたら、どういう組み合わせがある？」
子ども：「チョコとバニラ、チョコとストロベリー…」
こうして、具体的なものを使って楽しく学ぶことで、理解が深まります。
3. 「間違えた理由」を一緒に考える時間をつくる
場合の数では、*数え漏れ」「重複して数えてしまう」といった間違いがよく起こります。
こうしたミスを「どうすれば防げるのか？」を考える習慣をつけることが大切です。
注意点
- 「また間違えたの！？」と責めるのはNG！
- 「答えだけ直して終わり！」ではなく、「なぜ間違えたのか？」を考えさせる。
例：「赤・青・黄の3色のペンから2本を選ぶ問題」
子ども：「答えは6通り！」
親：「ちょっと確認してみよう！ もしかして、赤・青と青・赤を別々に数えていない？」
こうして「どこで間違えたのか」を自分で気づかせることで、次回からのミスを減らせます。
4. 「できた！」を積み重ねて自信をつける
場合の数の問題は、初めは難しく感じることもあります。
小さな成功体験を積み重ねることで、「自分でも解ける！」という自信を育てることが大切です。
効果的なサポート
- 「簡単な問題から始める」（最初は書き出すだけの問題から）
- 「できたら褒める」（正解だけでなく、考え方をしっかり伝えられたことも評価）
- 「苦手な問題は分解して考える」（条件を1つずつ整理しながら取り組む）
例：「5人の中から3人を選ぶ問題」
親：「難しい問題だけど、まずは1つ選ぶところから考えてみよう！」
子ども：「1人目は5通り、2人目は4通り、3人目は…」
こうして段階的に考えられるようになると、複雑な問題にも挑戦できるようになります。
5. 学習時間のメリハリをつける（だらだら学習を防ぐ）
場合の数の問題は、じっくり考える時間も必要ですが、長時間続けると集中力が切れてしまうこともあります。適切な時間配分を決めて学習することが大切です。
効果的な学習時間の作り方
- 「1回の学習を20～30分程度に区切る」（集中力を維持しやすい）
- 「短時間で1問ずつ丁寧に解く」（1回に大量の問題を解こうとしない）
- 「休憩を挟みながら、楽しく学習する」（ストレスなく学習を続けられる）
まとめ：家庭学習で保護者が注意すべきポイント
- 焦らず、考え方のプロセスを大切にする
- 図や具体物を使ってイメージしやすくする
- 間違えた理由を一緒に考え、ミスを減らす習慣をつける
- 「できた！」の成功体験を積み重ねて自信をつける
- 学習時間のメリハリをつけて、集中力を維持する
家庭学習では、「楽しみながら考える」ことが一番のポイントです。
保護者の関わり方次第で、子どもは算数を好きになり、場合の数も得意になっていきます。
焦らず、じっくりサポートしていきましょう！
苦手克服のための声かけと環境作り
場合の数に苦手意識を持つ子どもを支えるためには、ポジティブな声かけと学びやすい環境づくりが必要です。
- 「一緒に考えよう」という姿勢を示す
「難しいね」ではなく、「この方法で考えるとわかりやすいね」と具体的な解法に触れながら声をかけます。
一緒に問題を考える時間を設けると、安心感を与えることができます。 - 失敗を肯定的にとらえる
「間違えてもいいよ。次はこうしてみよう」と前向きな言葉を使いましょう。
場合の数ではミスがつきものですが、それを次の学びに変える姿勢を示すことが重要です。 - 静かで集中できる環境を整える
リビングの一角や子ども部屋など、集中しやすい場所を選び、そこに必要な学習道具をそろえます。
また、一定時間ごとに休憩を入れることで、長時間の学習も苦になりません。
モチベーションを高める学習支援のヒント
子どもが楽しく学べる工夫を取り入れることで、場合の数への興味が自然に高まります。
- ゲーム感覚で学ぶ
家庭で「並べ方」や「選び方」を題材にしたクイズを出題してみます。
たとえば、「4種類のケーキから2つを選ぶとしたら、何通りあるかな？」という形式で、楽しみながら考える力を引き出します。 - 進捗を見える化する
場合の数の問題を解くたびに進捗をカレンダーや表に記録すると、達成感を得られます。「今日は3問正解！すごい！」と成果を褒めることも励みになります。 - ごほうび制度を取り入れる
一定の目標を達成したら好きな本をプレゼントするなど、目に見えるご褒美を設けるのも効果的です。目標を設定することで、やる気が湧きやすくなります。
保護者の関わり方次第で、場合の数の学習はぐっと楽しく、身近なものになります。
毎日の小さな積み重ねが、中学受験本番での得点力向上につながります。
合格につなげる場合の数の総仕上げ
場合の数は中学受験において得点源となる重要単元です。
総仕上げの段階では、これまでに学んだ知識を実践的に活用する力を磨き、試験本番で最大限に発揮できる状態を目指します。
この章では、過去問演習や直前期の復習、試験当日の実践的なテクニックを解説します。
過去問演習で気をつけるポイント
過去問演習は、場合の数の総仕上げとして必須です。
過去問を効果的に活用するためには、以下のポイントを押さえることが大切です。
- 試験時間を計測して解く
過去問を解く際は、実際の試験時間を意識して取り組みます。
例えば、30分で場合の数の問題を解く練習をすることで、本番での時間配分感覚を養えます。 - 解き直しを徹底する
正解・不正解に関係なく、すべての問題を解き直します。
不正解の場合は原因を分析し、どの部分で間違えたのかを明確にしておきます。
たとえば、計算ミスが多ければ、基礎的な練習に立ち戻る必要があります。 - 類題を追加で練習する
過去問で間違えた問題と似たパターンの問題を、別の教材で練習します。
同じテーマの問題を繰り返すことで、苦手部分を克服できます。
直前期に効果的な復習法
直前期は、新しい問題に手を出すよりも、これまで学んだ内容を確実に自分のものにする復習が重要です。
- 間違えた問題のリストを活用する
これまでに解いた問題の中で間違えたものをリスト化しておきます。
このリストを見直すことで、自分の弱点を効率的に克服できます。
特に「条件付きの並べ方」や「組み合わせ」の問題は重点的に取り組みます。 - 基礎の確認を怠らない
応用問題だけでなく、基礎問題を毎日1問解く習慣を続けます。
基礎が安定していると、難しい問題にも冷静に対応できるようになります。 - 短時間で繰り返す学習を心がける
1回あたりの学習時間を20～30分に区切り、同じ内容を何度も復習します。
この方法は、集中力を保ちながら効率よく記憶を強化するのに効果的です。
試験当日を意識した解法テクニック
試験本番では、正確性とスピードの両方が求められます。
以下のテクニックを使って、落ち着いて問題を解き進めることを心がけましょう。
- 簡単な問題から着手する
場合の数の問題が複数出題された場合、最初に簡単な問題から解き始めます。
たとえば、基礎的な「樹形図」や「すべて並べる問題」を先に解くことで、リズムをつかめます。 - 見直しの時間を確保する
解き終わったら、必ず時間を取って見直しを行います。
樹形図の描き漏れや計算ミスがないかを確認するだけで得点を伸ばせる可能性があります。 - 条件を明確にメモする
問題文に書かれている条件をメモ用紙に整理する習慣をつけます。
「Aは必ず左端に来る」などの条件を視覚化すると、誤解を防げます。
総仕上げの段階では、学んだ知識を確実にアウトプットできるよう、実践的な練習を積み重ねることがポイントです。
試験当日も落ち着いて取り組めるよう、親子で計画的に準備を進めていきましょう。
場合の数 中学受験 に関するQ&A
場合の数 中学受験 に関するよくある疑問は下記の通り。
ここからそれぞれの疑問について、1つずつ詳しく解説していきます。
- 場合の数を効率よく理解するためのおすすめの参考書はありますか？
- 場合の数を苦手とする子どもに取り組ませたい基礎問題はどのようなものですか？
- 場合の数を学ぶ際におすすめのオンラインツールやアプリはありますか？
- 中学受験の試験で場合の数が頻出する学校にはどのような傾向がありますか？
場合の数を効率よく理解するためのおすすめの参考書はありますか？
中学受験の「場合の数」を効率的に理解するためには、適切な参考書や問題集の活用が効果的です。以下におすすめの書籍をいくつかご紹介します。
1. 『中学入試 速ワザ算数 規則性・場合の数』
この書籍は、難関校の入試問題に対応した内容で、特に「規則性」や「場合の数」の分野に焦点を当てています。
手書き風の解法例が掲載されており、視覚的に理解しやすい構成となっています。
算数を得意科目にしたい受験生に適しています。
2. 『算数プラスワン問題集』
この問題集は、幅広いレベルの問題を収録しており、基礎から応用まで対応しています。
解説もシンプルで見やすく、さまざまな解法を学ぶことができます。
特に、5年生後半から6年生の受験生におすすめです。
3. 『中学受験を成功させる 熊野孝哉の「場合の数」入試で差がつく51題+17題』
難関校を目指す受験生向けの問題集で、場合の数の発展的な問題に取り組むことができます。
解説も詳しく、自宅学習や塾の補助教材として活用できます。
→ 『中学受験を成功させる 熊野孝哉の「場合の数」入試で差がつく51題+17題』
4. 『場合の数カード+場合の数プリント 小学校1~6年:勉強ひみつ道具』
算数指導で定評のある朝倉仁先生が執筆した問題集で、場合の数カードが付属しています。全体的に理解しやすい構成となっており、初めて場合の数を学ぶ子どもにも適しています。
→ 『場合の数カード+場合の数プリント 小学校1~6年:勉強ひみつ道具』
これらの参考書や問題集を活用し、お子さまの理解度や学習進度に合わせて取り組むことで、場合の数の理解を深めることができるでしょう。
場合の数を苦手とする子どもに取り組ませたい基礎問題はどのようなものですか？
場合の数を苦手とする子どもには、「数え漏れなく整理する力」 を身につけることが大切です。
以下のような シンプルで視覚的に理解しやすい問題 から取り組むと、スムーズに学習できます。
樹形図を使った問題（基本の考え方）
問題①：「3種類のお菓子から1つを選ぶ方法は何通り？」
→ お菓子の種類（チョコ、キャンディー、クッキー）をリストに書き出すだけでOK。
答え：3通り
（チョコ・キャンディー・クッキー）
問題②：「赤・青・緑の3つのボールから2つを選ぶ方法は？」
→ これも、順番を考えずに組み合わせを書き出せばOK。
- 赤と青
- 赤と緑
- 青と緑
答え：3通り
（赤・青、赤・緑、青・緑）
ポイント！
樹形図を描いて、1つずつ丁寧に数える練習をすると、数え漏れを防ぐ力 が身につきます。
順列（並べ方）の問題（「順番が違うと別の選び方になる」感覚をつかむ）
問題③：「Aさん、Bさん、Cさんの3人を並べる方法は何通り？」
→ 1人目を決める → 2人目を決める → 3人目を決める、と考える。
答え：3 × 2 × 1 = 6通り
（ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA）
ポイント！
まずは 実際に書き出す ことが大事！慣れたら公式（3!3!）を使って計算してもOK！
組み合わせ（選び方）の問題（「順番を気にしなくていい」感覚をつかむ）
問題④：「5人の中から2人を選ぶ方法は何通り？」
→ AとB、AとC、AとD…と1つずつ書き出す。
答え：10通り
（AとB、AとC、AとD、AとE、BとC、BとD、BとE、CとD、CとE、DとE）
ポイント！
「AとB」と「BとA」は同じ組み合わせなので、重複しないように注意！
条件付きの問題（難易度UP！）
問題⑤：「Aさん、Bさん、Cさんを並べるとき、Bさんが必ず1番目にくる場合は？」
→ Bを1番目に固定して、残り2人の並べ方を考える。
答え：2 × 1 = 2通り
（BAC、BCA）
ポイント！
「条件」をしっかり確認し、固定する部分を決めることで解きやすくなる！
まとめ：苦手な子どもに向けた学習の進め方
① まずは書き出して考える！
→ リスト化や樹形図 を使って、視覚的に整理する練習をする。
② 「順列」と「組み合わせ」の違いを意識！
→ 順番が関係あるかどうか を見極められるようにする。
③ 条件付きの問題にステップアップ！
→ 「〇〇が必ず入る」「〇〇を含まない」 などの条件付き問題に挑戦してみる。
おすすめの進め方
1️⃣ まずは簡単なリスト化・書き出し問題で考え方をつかむ
2️⃣ 慣れたら順列・組み合わせの違いを意識しながら取り組む
3️⃣ 条件付きの問題に挑戦し、場合分けの力をつける
この流れで学習すると、「場合の数」が得意になっていきます！
場合の数を学ぶ際におすすめのオンラインツールやアプリはありますか？
場合の数を効果的に学習するためのオンラインツールやアプリをいくつかご紹介します。
これらは中学受験生にも役立つ内容となっています。
1. Microsoft Math Solver
Microsoftが提供する無料の数学学習アプリです。
手書き入力やカメラで数式を撮影することで、問題の解法やステップバイステップの解説を得ることができます。
場合の数の問題にも対応しており、理解を深めるのに役立ちます。
Microsoft Math Solverは、数式を入力すると解答と解説を表示してくれる無料の数学学習アプリです。場合の数の問題を解く際にも活用できます。
1. Microsoft Math Solverをダウンロード
Microsoft Math Solverは、スマートフォン（iOS・Android）やPCのブラウザで利用できます。
📱 アプリダウンロード
- iOS（iPhone/iPad）：App Store
- Android：Google Play
- PC版：公式サイト（ブラウザで利用可）
2. Microsoft Math Solverの基本的な使い方
Microsoft Math Solverは、次の3つの方法で数式を入力できます。
① カメラで手書きの数式を読み取る
- アプリを開く
- カメラマーク📷をタップ
- 紙に書いた場合の数の問題（数式）を撮影
- 読み取られた数式が正しいか確認し、「解く」をタップ
- 解説やグラフが表示される
② 画面に手書きで数式を書く
- アプリを開く
- 手書きモード✍️を選択
- 画面上に指やペンで数式を書く
- 画面下部に解答が表示される
③ キーボードで数式を入力
- アプリを開く
- キーボードモード⌨️を選択
- 数式を入力（例：「5C2」や「3!」）
- 「解く」をタップすると、計算手順と解説が表示される
3. 場合の数の問題を解く方法
Microsoft Math Solverを活用して、場合の数の計算や解法を理解することができます。
例題①「5人の中から2人を選ぶ場合の数（5C2）」
- アプリを開く
- 「5C2」（組み合わせの公式）を手書き or キーボードで入力
- 解答と計算手順が表示される（5! ÷ (2! × 3!) = 10）
例題②「3人を並べる順列（3P3）」
- アプリを開く
- 「3P3」（順列の公式）を入力
- 解答と途中計算が表示される（3! ÷ (3-3)! = 6）
4. Microsoft Math Solverの活用ポイント
- 途中式や考え方を詳しく表示してくれるので、公式の理解が深まる
- 場合の数だけでなく、方程式や分数計算にも対応している
- 動画解説や関連問題も表示されるので、類題を解く練習ができる
5. まとめ
Microsoft Math Solverは、場合の数の計算をスムーズに解くだけでなく、解き方も詳しく解説してくれる便利なツールです。公式の確認や計算練習に役立つので、受験勉強のサポートとして活用してみてください！
２. 数学トレーニング
小学4年生から中学3年生までの数学問題を幅広く収録したアプリです。
場合の数に関連する問題も含まれており、苦手分野の克服に役立ちます。
手書きのメモ機能もあり、途中式を書きながら学習できます。
1. レベル設定の活用
アプリ内では、学年や習熟度に応じて問題のレベルを設定できます。お子さんの現在の学年や理解度に合わせて、適切なレベルを選択しましょう。これにより、無理なく学習を進めることができます。
2. 単元の選択
算数の各単元（例：分数、少数、図形など）がカテゴリ別に整理されています。学校の授業内容やお子さんの苦手な分野に合わせて、学習したい単元を選び、重点的に取り組むことが効果的です。
3. メモ機能の活用
問題を解く際、アプリ内のメモ機能を使って途中計算や考えを書き留めることができます。紙と鉛筆を用意しなくても、画面上で計算過程を整理できるため、移動中やちょっとした空き時間にも学習が可能です。
4. 学習記録の確認
アプリには、正解数や学習時間などの記録機能があります。定期的に学習の進捗を確認し、達成度を振り返ることで、モチベーションの維持や学習計画の見直しに役立てましょう。
5. 隙間時間の活用
通学時間や待ち時間などの短い時間でも、アプリを使って問題に取り組むことができます。継続的な学習が理解の定着につながるため、日常の隙間時間を有効に活用しましょう。
「数学トレーニング」は、手軽に数学の力を伸ばせるツールです。お子さんの学習習慣の一環として取り入れ、楽しみながら算数の理解を深めていきましょう。
「数学トレーニング」アプリは、小学4年生から中学3年生までの数学問題を幅広く収録しており、苦手分野の克服や学習の定着に役立ちます。
このアプリはiOSおよびAndroidデバイスで利用可能です。
iOSデバイス（iPhoneやiPad）の場合：
- App Storeを開きます。
- 画面下部の検索タブをタップし、検索バーに「数学トレーニング」と入力して検索します。
- 検索結果から「数学トレーニング」アプリを見つけ、取得ボタンをタップしてインストールします。
App Storeの「数学トレーニング」アプリのページはこちらです：
Androidデバイスの場合：
- Google Play ストアを開きます。
- 画面上部の検索バーに「数学トレーニング」と入力して検索します。
- 検索結果から「数学トレーニング」アプリを見つけ、インストールボタンをタップしてインストールします。
Google Play ストアの「数学トレーニング」アプリのページはこちらです：
インストール後、アプリを起動し、学年や学習したい分野を選択して学習を開始できます。このアプリは、計算問題の練習や理解度の確認に役立ちます。
中学受験の試験で場合の数が頻出する学校にはどのような傾向がありますか？
中学受験において、「場合の数」は多くの学校で頻出する重要な単元です。特に難関校では、思考力や論理的な推理力を試す問題として出題される傾向があります。
開成中学校では、「場合の数」の問題が出題されており、受験生の心理的な負担を考慮した構成となっています。
海城中学校では、図形に関する「場合の数」の問題が多く、計算よりも正確に数え上げる力が求められます。
栄光学園中学校では、「場合の数」の出題比率が約15.5%と高く、思考力を要する問題が多く見られます。
麻布中学校でも、「場合の数」は頻出単元の一つであり、数の性質や速さ、平面図形、規則性と組み合わせた問題が出題されます。
これらの学校では、「場合の数」を通じて受験生の論理的思考力や問題解決能力を評価しています。そのため、各学校の出題傾向を把握し、適切な対策を講じることが重要です。
「中学受験の算数、どの参考書を選べばいい？」
迷ったらこちらの記事をチェック！お子さんにピッタリの算数参考書が見つかります。
➡ [中学受験おすすめ算数参考書まとめ]
まとめ：中学受験で頻出の「場合の数」を理解しよう
この記事では、中学受験で重要な単元である「場合の数」を総仕上げするための方法を解説しました。
具体的には、次の3つのポイントに重点を置いています。
- 過去問演習の活用法
実際の試験に近い環境で過去問を解き、時間配分や解答の正確さを磨く方法を紹介。
間違えた問題を重点的に復習することで、弱点を克服します。 - 直前期に効果的な復習法
基礎的な問題の見直しや間違えた問題の再挑戦を通じて、効率的に記憶を定着させる方法を提案。
短時間で繰り返し学ぶ重要性を強調しています。 - 試験当日に役立つテクニック
問題を整理して効率的に解くコツや、見直しのポイントを解説。
条件付き問題や計算ミスを防ぐ方法にも触れています。
この記事を通じて、場合の数を得意分野にするための具体的なステップが明確になります。
保護者も子どもを効果的にサポートできるヒントが多数含まれているため、ぜひ参考にして学習を進めてください！
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