こんにちは、算数好きの皆さん！今回は、古くから親しまれてきた算数のパズル、「つるかめ算の問題」についてお話しします。
つるとかめの数を求めるこの問題は、シンプルでありながら奥深い計算力を養うのにぴったりです。
特に中学受験を目指す小学生にとって、つるかめ算の問題解法を理解することは重要なステップとなります。
この記事では、つるかめ算の基本的問題から、応用問題までをわかりやすく解説します。
面積図や全部つる作戦といった多彩な解法を使って、どんな問題でもスムーズに解けるようにサポートします。
また、日常生活や他の学習場面でも応用できるつるかめ算の魅力をお伝えします。
つるかめ算をマスターすることで、数学の楽しさと達成感を感じてもらえることでしょう。それでは、一緒に楽しく学んでいきましょう！
目次
つるかめ算とは
つるかめ算は、昔からある算数の問題の一つで、つると亀の数を求めるための特別な方法です。
つると亀はそれぞれ足の本数が違うため、その違いを利用して問題を解くことができます。
つるかめ算の例としてイメージを持ってもらうためにこんな問題を考えてみましょう。
「つるとかめが合わせて80匹います。足の数の合計が200本のとき、つるとかめはそれぞれ何匹でしょう？」
今は、まだわからなくても良いですから、次のような考え方を理解できればOKです。
つるとかめの特徴は次のとおりです
- つるの足の数：つるは1匹につき足が2本あります。
- かめの足の数：かめは1匹につき足が4本あります。
つるかめ算の考え方次のとおりです
つるかめ算では、次のようなステップを使って解きます。
- 仮定を立てる：すべての動物がつるだと仮定します。
- 仮定の足の数を計算：80匹すべてがつるだとすると、足の数は次のようになります。
80匹×2本=160本 - 実際の足の数と比較：実際には足の数が200本です。仮定した160本との差を考えます。
200本−160本=40本 - かめの数を求める：つるをかめに変えると、1匹につき足が2本増えます。この差を埋めるために必要なかめの数を求めます。
40本÷2本=20匹 - つるの数を求める：80匹のうち、20匹がかめなので、残りはつるです。
80匹−20匹=60匹
この問題の答えは、つるが60匹、かめが20匹です。
このようにつるかめ算は、つると亀の足の数の違いを利用して、問題を解く方法です。
この方法を使うと、複雑に見える問題でも簡単に解けるようになります。
つるかめ算の基本的な考え方を理解すれば、他の同じような問題にも応用できます。
では、これから考え方・解き方についてじっくり説明していきます。
つるかめ算の問題の簡単な解き方【基本編】
まずは、誰でもできるわかりやすい解き方として全部つる作戦について説明します。
問題をクリックすると解き方が表示されます。
全部つる作戦で解く方法
動物に限らず、８０円切手と１２０円切手など商品とその値段が問題になっていることもあります。
この「つるかめ算」がスムーズに解けるようになるためには、かなりの練習が必要です。
はじめのころは、図を使ったり、ていねいに順を追って考えたりすることで、答え方のパターンを身につけていきましょう。
解説
解き方の手順を分かりやすく解説します。
1つ目の解き方は、名づけて「全部つる作戦」。
この問題を「全部ツルだと仮定して解く方法」をわかりやすく解説します。
ステップ1：問題を理解しよう
まず、問題の条件を整理しましょう。
- つるとかめの合計が９0匹
- 足の数の合計が2２0本
ステップ2：仮定を立てよう
この問題を解くために、全部つるだと仮定します。つるの足の数は2本なので、９０匹すべてがつるであれば、足の数は次のようになります。
９０匹×2本=1８0本
ステップ3：実際の足の数と比較しよう
実際には足の数が2２0本です。仮定した1８0本との差を考えます。
2２0本−1８0本=４0本
ステップ4：差をかめに変換しよう
つるをかめに変えると、1匹あたり足の数が2本から4本に増えます。つまり、1匹のかめにすると足が2本増えます。
４0本の差があるので、これを埋めるためには何匹のかめが必要かを計算します。
４0本÷2本/匹=２0匹
ステップ5：つるとかめの数を求めよう
９0匹のうち20匹がかめであるため、残りはつるです。
９0匹−20匹=７0匹
したがって、つるは７0匹、かめは20匹です。
答え
つる：７0匹
かめ：２0匹
解説まとめ
- 全部つるだと仮定して計算する。
- 仮定したつるの足の数（1８0本）と実際の足の数（2２0本）の差を計算する。
- 足の数の差を埋めるために必要なかめの数を計算する（差を2本で割る）。
- つるとかめの数を求める（つるは全体からかめの数を引いたもの）。
このように仮定を使ってつるとかめの数を求める方法を使えば、つるかめ算の問題を簡単に解くことができます。
面積図を用いて解く方法
2つ目の方法は、「面積図」という必殺の武器を使って解いていきます。
「全部つる作戦」よりもむずかしい、小学6年生向けの解き方です。
面積図を使ったつるかめ算の問題例を提示します。
問題をクリックすると解き方が表示されます。
解説
面積図を使ってこの問題を解く方法を小学6年生向けにわかりやすく説明します。
ステップ1：問題を理解しよう
まず、問題の条件を整理します。
- つるとかめの合計が９0匹
- 足の数の合計が１８０本
ステップ2：面積図を描こう
面積図を描いてみましょう。
ずは図の書き方をおぼえましょう。
横軸に「つるとかめの合計の数」、縦軸に「足の数」を取ります。
つるを◯匹、かめを△匹とします
つるの足の数は2本、かめの足の数は4本です。
ステップ３：つるだけの場合
つるが９0匹すべてを占めるときの足の数を計算します。
９0匹×2本=1８0本
面積図では、この部分を横軸に「９0匹」、縦軸に「2本」緑の長方形として描きます。
ステップ４：かめの場合
次に、かめ△匹の足の数をもとに面積図を書きます。
面積図では、この部分を横軸に「△匹」、縦軸にかめの４本とつるの 2本の差「２本」の青い長方形として描きます。
ステップ５：足の数の差を利用する
つるが９0匹のときは1８0本なので、実際の足の数（2２0本）とつるだけの足の数（1８0本）の差を計算します。
2２0本−1８0本=40本
ステップ６：つるとかめの数を求める
かめ1匹はつる1匹よりも足が2本多いので、40本の差を埋めるためには次のように計算します。
40本÷2本/匹=20匹
つまり、20匹のかめが必要です。残りの７0匹はつるです。
答え
つる：70匹
かめ：20匹
今回の「つるとかめ」のように、問題となる動物や商品が2種類の場合は、はじめに教えた「全部つる作戦」で解くことができます。
ところが、問題が難しくなると、動物や商品の種類が3つに増えたりします。
そういった場合は「全部つる作戦」ではうまく解くことができず、こうした面積図を使った解き方を知らないといけません。
つるかめ算の問題の簡単な解き方【応用編】
「つるかめ算」の問題はいつも“つるとかめ”が出てくるわけではありません。
では、このような問題を取り上げてみましょう。
つるとかめが登場しない問題
つるかめ算の応用問題について説明します。
解説
前回解説したように、「つるかめ算」の問題はいつも“つるとかめ”が出てくるわけではありません。
そのため、問題のなかに「2つのもの の 2つの合計」が出てきたら「つるかめ算」なのだと、自分で気がつく必要があります。
今回の例題でいうと、以下が「2つのもの の 2つの合計」にあたります。
合計①「（無事に）運べた枚数」と「割れた枚数」の合計が５０枚
合計②「もらったお金」と「支払ったお金」の合計が２０００円
では、この問題を全部つる作戦で考えていきます。
ステップ1：問題を理解しよう
まず、問題の条件を整理します。
- コップを割らずに運ぶと1枚あたり80円もらえる。
- コップを割ると1枚あたり120円を支払わなければならない。
- 合計で50枚のコップを運んだ。
- 結果的に2000円もらえた。
ステップ2：仮定を立てよう
つるかめ算の方法を使って、全部のコップが割れなかったと仮定します。
つまり、50枚全てのコップを割らずに運んだと仮定します。
ステップ3：仮定のもとでの収入を計算しよう
すべてのコップを割らずに運ぶと、どれだけの収入が得られるかを計算します。
50枚×80円=4000円
ステップ4：実際の収入と比較しよう
実際には2000円しかもらえていません。仮定した収入との差額を計算します。
4000円−2000円=2000円
ステップ5：コップが割れた場合の損失を計算しよう
コップが割れると、1枚あたり120円の支払いが発生します。
つまり、コップが割れると80円もらえる代わりに120円支払うため、差額は200円（80円もらえない＋120円支払う）です。
80円+120円=200円
ステップ6：割れたコップの数を求めよう
2000円の差額を埋めるために何枚のコップが割れたかを求めます。
2000円÷200円/枚=10枚
ステップ7：答えを確認しよう
割れたコップの数は10枚です。
解説まとめ
- 仮定を立てる：全部のコップが割れなかったと仮定します。
- 仮定のもとでの収入を計算：50枚すべてを割らずに運ぶと4000円もらえます。
- 実際の収入との差を計算：仮定した収入4000円と実際の収入2000円の差は2000円です。
- コップが割れた場合の損失を計算：1枚あたり200円の差額が生じます。
- 割れたコップの数を求める：2000円の差額を埋めるために必要な割れたコップの数は10枚です。
答え
割れたコップの数は10枚です。
このように、つるかめ算の応用として問題を解くことができます。つるかめ算の考え方を使うと、問題が複雑に見えても簡単に解くことができます。
こういった「こうすれば損をする、こうすると得をする」という“損得”にまつわる文章題は、「つるかめ算」になりやすいです
速さが関係する問題
速さに関するつるかめ算の問題を解説します。
解説：
全体の道のりと時間が出ていて、途中で速さが変わる問題は「速さのつるかめ算」と呼ばれます。普通のつるかめ算と同じように考えて解いてみましょう。
ステップ1：問題の条件を整理しよう
- 家から学校までの距離：1480m
- 歩く速さ：分速80m
- 走る速さ：分速120m
- 合計の時間：15分
ステップ2：面積図を描こう
面積図を使って解くために、時間と速さをそれぞれ縦軸と横軸に取ります。
- 縦軸に「速さ（m/分）」、横軸に「時間（分）」を取ります。
- 歩いた時間を 🔲分とします。
ステップ3：面積図で距離を表す
距離は速さと時間の積なので、面積図の中で次のように表現します。
- 歩く距離は、速さ80m/分と時間 🔲分の長方形の面積です。
- 走る距離は、速さ120m/分と時間 15ー🔲 分の長方形の面積です。
ステップ4：面積を計算しよう
全て速さ120m/分で走るとその面積は120m/分×15分で1800mとなります。
実際には1480mですのでピンク色の面積が1800m-1480m=320mとなります。
ステップ5：時間を求める
ピンク色の面積は走る速さ(120m/分)と走る歩く速さ(80m/分)との差(40m/分)×歩いた時間🔲分の面積になります。
従いまして、歩いた時間🔲分×分速40m/分=320mとなりますので、歩いた時間🔲分は8分となります。
ステップ６：答えを確認しよう
太郎君が歩いた時間は8分です。
このように、鶴亀算の面積図を使うことで、時間と速さの問題もわかりやすく解くことができます。
売買損益が関係する問題
売買損益に関するつるかめ算の問題を解説します。
解説：
ステップ1：問題の条件を整理しよう
- 利益の合計：5280円
- １個の仕入値：80円
- 定価：40円→1個当たりの利益は80円-40円=40円
- 値引きした値段：64円→1個当たりの利益は80円-64円=16円
ステップ2：面積図を描こう
面積図を使って解くために、利益と販売個数をそれぞれ縦軸と横軸に取ります。
- 縦軸に「利益(円)」、横軸に「個数」を取ります。
- 定価で売った個数を 🔲個とします。
ステップ3：面積図で利益合計を表す
利益合計は１個あたりの利益と個数の積なので、面積図の中で次のように表現します。
- 定価販売した１個当たり40円の利益合計は、40円と定価で売った🔲個の長方形の面積です。
- 値引き販売した１個当たり16円の利益合計は、16円と定価で売った(150- 🔲)個の長方形の面積です。
ステップ4：面積を計算しよう
全て定価販売するとその面積は40円/個×150個で6000円となります。
実際には5280円ですのでピンク色の面積が6000円-5280円=720円となります。
ステップ5：個数を求める
ピンク色の面積は定価で売った時の１個当たりの利益(40円)と値引きで売った時の１個当たりの利益(16円)との差(24円)×定価で売った個数🔲個の面積になります。
従いまして、定価で売った個数🔲個×24円/個=720円となりますので、定価で売った個数🔲は30個なります。
ステップ６：答えを確認しよう
値引き販売で売った個数🔲は30個です。
仕事算が関係する問題
仕事算に関するつるかめ算の問題を解説します。
解説：
ステップ1：問題の条件を整理しよう
- Aさんが1人ですると10日
- AさんとBさんが2人ですると6日
- Aさんが1人でした後、Bさんに代わったところ、12日かかりました。
ステップ2：全体の仕事量を求める
全体の仕事量を10と6の最小公倍数である30にします。
ステップ3：Aさん、Bさんの１日でする仕事量を求める
- Aさんの１日でする仕事量は、30÷10＝3です。
- Bさんの１日でする仕事量はAさんとBさんが1日でする仕事量は30÷6＝5なので、Bさんが1日でする仕事量は5－3＝2です。
ステップ4：面積図を書きます
縦がAさんが1日でする仕事量とBさんが1日でする仕事量になる長方形をそれぞれ描き、横を日数とします。
ステップ5：日数を求める
Aさんが全て12日働いた場合、3×12=36の仕事をしたことになります。
しかし、実際は30の仕事ですから、その差36ー30=6がピンク色の面積となります。
従いまして、ピンク色の面積＝Bさんが働いた日数🔲×(3-2)=6となり、B さんが働いた日数🔲＝6÷(3-2)=6となります。
ステップ６：答えを確認しよう
Bさんが働いた日数🔲は6日です。
つるかめ算の問題に関するQ＆A
算数のつるかめ算の問題に関するよくある疑問は上記の通りです。
ここからそれぞれの疑問について、１つずつ詳しく解説していきます。
つるかめ算の問題を無料でダウンロードする方法は？
つるかめ算の問題を無料でダウンロードするには、以下のサイトや方法がおすすめです：
- 教育関連サイト：多くの教育関連サイトでは、無料のワークシートや練習問題が提供されています。例えば、「教育プリント」や「ドリルズ」など。
- オンライン学習プラットフォーム：ベネッセの「進研ゼミ」や「スタディサプリ」など、一部のコンテンツは無料で提供されています。
- 学校や教育委員会の公式サイト：地域によっては、教育委員会が無料の問題集を公開しています。
つるかめ算の方程式は？
つるかめ算の方程式は、2つの異なる要素の合計数と合計の値を使って解きます。
例えば、つるの数をx、かめの数をyとし、次の2つの方程式を立てます：
- 数の合計：x+y=合計数x+y=合計数
- 値の合計：2x+4y=合計の値2x+4y=合計の値 （例：つるの足が2本、かめの足が4本の場合） この連立方程式を解くことで、xとyの値が求められます。
つるかめ算は大人が学んでも無駄？
いいえ、つるかめ算は大人が学んでも無駄ではありません。
つるかめ算は、論理的思考力や問題解決能力を鍛えるのに役立ちます。
また、子どもに教える際の指導力向上にもつながります。
数学の基礎を理解し直すことで、日常生活や仕事でも役立つスキルが身につきます。
つるかめ算の難問は？
つるかめ算の難問は、通常の問題よりも複雑な条件や変数が含まれる場合があります。
例えば：
- つるとかめ以外の要素が追加された場合
- 時間や速さ、距離などの複数の要素が絡む場合
- 一部の条件が曖昧で、自分で仮定を立てて解く必要がある場合 こうした難問は、通常のつるかめ算の解法を応用し、さらに高度な論理的思考を必要とします。
まとめ：つるかめ算の問題の解き方を理解しましょう
- つるかめ算の基本的な考え方を理解できる。
- 全部つる作戦と面積図を使ったつるかめ算の解き方を学べる。
- 具体例と解説を通じて、つるかめ算の実践的な解法を習得できる。
- 応用問題に挑戦し、つるかめ算の理解を深められる。
- 視覚的なアプローチとして、面積図の使い方がわかる。
- 中学受験対策として、つるかめ算の問題に自信を持って取り組めるようになる。
- 論理的思考力の向上に役立ち、他の数学問題にも応用できるスキルが身につく。
「中学受験パスポート」参考記事
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参考記事：仕事算の問題・解き方を完全攻略！中学受験で使える公式も解説します
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参考記事：通過算の問題の解き方をわかりやすく解説！基本問題から応用まで
参考記事：差集め算を完全攻略！裏ワザと解き方のコツで得点力を一気にアップ！
みなさんも、今日学んだことを使って、どんどん練習してみてくださいね！
・つるかめ算の基本理解：つるかめ算の基本的な考え方と解法を理解できる。
・多様な解法の習得：仮定法や面積図を使ったつるかめ算の解き方を学べる。
・応用力の向上：実生活や他の数学問題に応用できるつるかめ算のテクニックを身につけられる。
・視覚的理解の強化：面積図を使った解法により、視覚的に問題を解決する力が養える。
・算数への興味喚起：楽しく分かりやすい解説により、算数への興味や学習意欲が高まる。
・論理的思考力の向上：つるかめ算を通じて、論理的に考える力を養うことができる。
・受験対策の強化：中学受験に必要なつるかめ算の問題を自信を持って解けるようになる。